使用方法
- 先在「求解目标」里选你要什么。六个选项分成两类：一类只用一个已知量（现值或终值）配利率与期数，直接解出每期收付；另一类反过来，用每期收付解出现值、终值、期数或利率。
- 决定「年金类型」。选普通年金（期末支付）时，第一期款发生在第 1 期期末；选期初年金时，第一期款发生在第 0 期（也就是当下）。这个选择会让每期金额整体相差一个 (1+i)。
- 示例参数：求解目标选「已知现值 → 求每期收付」，类型选「普通年金」，现值填 250,000，年利率填 5，每年支付次数填 12，年数填 20。这组数字就是页面打开时的默认值。
- 点「计算」，或在任一输入框里按 Enter。结果卡给出八个量：期间利率、期数、每期收付、现值、终值、期末系数、期初系数、当前类型。系数那一对是本页的重点，两者只差一个 (1+i)。
- 看下面的逐期明细，检查每期利息怎么从 1,041.67 美元一路降到 6.84 美元，期末余额怎么从 250,000 递减回零附近。「加载更多」每次补 12 期，全表 240 期可用「导出 CSV」一次带走。
- 要对照期初与期末的差别，直接点「切换期初 / 期末」——参数不用重填，每期金额会从 1,649.89 变成 1,643.04 美元。
这个年金计算器能解决什么问题
一是把「一笔钱能领多久、每期能领多少」算清楚。25 万美元按 5% 年利率分 20 年按月支取，每期 1,649.89 美元是可直接执行的数字；把年数改成 30 年，每期掉到 1,342.05 美元，累计支付却从 395,974 涨到 483,139 美元——多领的那部分是「钱在账户里继续生息」换来的，不是凭空多出来的。
二是把「期初还是期末」这个坑摆在明面上。同样一笔 25 万美元、同样 5% 和 20 年，期末支付每期 1,649.89 美元、期初支付每期 1,643.04 美元，前者是后者的 1.00416667 倍，正好等于 1 + 0.05/12。
三是反解那些「不给你答案」的参数。想知道 25 万美元每月还 2,000 美元要还到什么时候，用「求期数」得到 176.94 期（约 14.74 年）；想知道「每月还 1,500、还 240 期」隐含的是什么利率，用「求期间利率」得到 0.3238%/期，年化 3.8862%。这两个反解没有闭式直觉，但工具一次就给。
四是给贷款和储蓄做同一套语言。房贷等额本息月供就是「已知现值求每期支付」的普通年金；每月定投攒目标是「已知终值求每期缴存」的普通年金；租房按月预付则是期初年金。
这个年金计算器不做这些事：不处理不规则现金流（每期金额必须相同）、不做递增年金（每期按固定增长率变化的年金）、不加死亡率与退保率（那是寿险精算的范畴）、也不计算提前还款违约金或税费。要算按月等额本息的房贷，请用页面底部的「房贷计算器」；要单看一笔钱的一次性折现，请用「现值价值主张计算器」。
计算原理：两个系数、一个 (1+i)、三类反解
本页这个年金计算器的推导只用到两个系数。设期间利率 i = 年利率 ÷ m、总期数 n = 年数 × m，则普通年金的现值系数与终值系数分别是 a(n,i) = (1 − (1+i)^(−n)) ÷ i 和 s(n,i) = ((1+i)^n − 1) ÷ i。四条正向关系一次写完：PV = PMT × a(n,i)、FV = PMT × s(n,i)、PMT = PV ÷ a(n,i)、PMT = FV ÷ s(n,i)。示例里 a(240, 0.4167%) = 151.525313，250,000 ÷ 151.525313 = 1,649.89 美元；s(240, 0.4167%) = 411.033669，1,649.89 × 411.033669 = 678,160.34 美元，这就是结果卡里那个「终值 FV」的来处——它是把这 240 笔款额搬到最后一期时点的等价额，不是你能同时拿到的两笔钱。
期初年金（annuity due）只改一处：整体系数乘 (1+i)。期初支付意味着第一期发生在第 0 期，比期末支付早整整一期，所以每一笔款额都多赚一期利息，系数从 a 变成 a × (1+i)。示例中 151.525313 × 1.00416667 = 152.156669，250,000 ÷ 152.156669 = 1,643.04 美元。注意方向：固定现值求每期金额时，期初的每期金额更小（分母变大）；固定每期金额求现值时，期初的现值更大。两个方向用的是同一个 (1+i)，不要一个乘一个除。终值那一侧同理，s 也要乘 (1+i)。
期间利率为什么是「年利率 ÷ m」而不是「(1+年利率)^(1/m) − 1」。因为这页按名义年利率解释你填的那个数——也就是银行说的「年利率 5%，按月复利」，与房贷月供、信用卡分期用的是同一套口径。它对应的实际年利率是 (1 + 0.05/12)^12 − 1 = 5.1162%，比 5% 高 0.1162 个百分点。如果你的合同给的是实际年利率 5%，要先把 i 换成 (1+0.05)^(1/12) − 1 = 0.4074% 再填「年利率 4.8889%」，否则结果会偏高。
三个反解各走不同的路。求期数用对数直接解：由 PMT × a(n,i) = PV 反推得到 n = −ln(1 − PV×i÷PMT) ÷ ln(1+i)，示例 PV=250,000、PMT=2,000、i=0.4167% 时 n = 176.94 期。求利率没有闭式解，因为 i 同时出现在分母和指数上，工具用二分法在 [−0.99, 1] 区间内迭代 200 次逼近——这是个单调函数，区间两端符号一正一负就能保证收敛，示例收敛到 0.3238%/期。
零利率是一个必须单独处理的分支。当 i = 0 时 a(n,i) 的表达式是 0/0，直接算会得到 NaN。正确做法是取极限：a(n,0) = n、s(n,0) = n，于是 PV = PMT × n。代码里显式判断 i === 0 并返回这个退化值，所以填 0% 不会算崩，而是给出「240 × 2,500 = 600,000 美元」这个干净结果。
完整示例（数值仅作演示）
示例条件与页面打开时的默认值完全一致：求解目标 = 已知现值求每期收付、年金类型 = 普通年金（期末）、PV = 250,000 美元、年利率 = 5%、m = 12、年数 = 20。
- 期间利率 i = 0.4167%（= 5% ÷ 12），总期数 n = 240；
- 期末系数
a(240, 0.4167%) = 151.525313，每期收付 1,649.89 美元； - 把同一个 PV 换成期初支付，系数变成 152.156669，每期收付 1,643.04 美元，两者比值 1.00416667；
- 第 1 期：期初余额 250,000.00，利息 1,041.67（= 250,000 × 0.4167%），本金 608.22，期末余额 249,391.78；
- 第 12 期：利息降到 1,013.20，期末余额 242,531.71；第 120 期期末余额约 155,554；
- 第 240 期（末期）：利息只剩 6.84，期末余额 −0.27——这个几分钱的负数就是「每期金额四舍五入到分」留下的残差，见下一节；
- 240 期累计收付 395,974 美元，其中利息约 145,974 美元，占 36.9%；改成期初支付则累计 394,330 美元；
- 若把这 240 笔款额当成缴存而非支取，它们在末期时点的终值是 678,160.34 美元。
再换三组参数看走向：现值 250,000、5%、12 期/年固定不动，年数取 5 年时每期 4,717.81 美元、10 年 2,651.64 美元、30 年 1,342.05 美元；年数固定 20 年，利率从 3% 升到 8%，每期从 1,386.49 涨到 2,091.10 美元。如果反过来用「已知终值求每期缴存」——目标终值 500,000 美元、年利率 7%、m = 12、20 年——解出每期缴存约 1,216.45 美元。
输入范围与对照表
同样是现值 250,000 美元、年利率 5%、20 年，m 取不同的值，每期金额与期初/期末的差额都跟着变：
| 每年支付次数 m | 期间利率 | 总期数 | 期末每期 | 期初每期 | 两者差额 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1（按年） | 5.0000% | 20 | $20,060.65 | $19,105.38 | $955.27 |
| 2（按半年） | 2.5000% | 40 | $9,959.06 | $9,716.15 | $242.90 |
| 4（按季） | 1.2500% | 80 | $4,961.63 | $4,900.38 | $61.25 |
| 12（按月，默认） | 0.4167% | 240 | $1,649.89 | $1,643.04 | $6.85 |
| 26（双周） | 0.1923% | 520 | $760.99 | $759.53 | $1.46 |
| 52（按周） | 0.0962% | 1,040 | $380.39 | $380.02 | $0.37 |
接着看期限。固定现值 250,000 美元、年利率 5%、m = 12，只拉长期限：
| 年数 | 期数 | 期末每期 | 期初每期 | 累计收付 | 利息占比 |
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 60 | $4,717.81 | $4,698.23 | $283,069 | 11.7% |
| 10 | 120 | $2,651.64 | $2,640.64 | $318,197 | 21.4% |
| 15 | 180 | $1,976.98 | $1,968.78 | $355,857 | 29.7% |
| 20（默认） | 240 | $1,649.89 | $1,643.04 | $395,974 | 36.9% |
| 25 | 300 | $1,461.48 | $1,455.41 | $438,443 | 43.0% |
| 30 | 360 | $1,342.05 | $1,336.49 | $483,139 | 48.3% |
最后看利率。固定现值 250,000 美元、m = 12、20 年，只动年利率——利率越高，每期金额的抬升越小，这就是年金对利率的凹性：
| 年利率 | 期间利率 | 期末每期 | 期初每期 | 累计收付 |
|---|---|---|---|---|
| 3% | 0.2500% | $1,386.49 | $1,383.04 | $332,759 |
| 4% | 0.3333% | $1,514.95 | $1,509.92 | $363,588 |
| 5%（默认） | 0.4167% | $1,649.89 | $1,643.04 | $395,974 |
| 6% | 0.5000% | $1,791.08 | $1,782.17 | $429,859 |
| 7% | 0.5833% | $1,938.25 | $1,927.01 | $465,179 |
| 8% | 0.6667% | $2,091.10 | $2,077.25 | $501,864 |
结果边界、舍入与无解判定
- 每期金额四舍五入到分，残差留在末期。示例解出的精确值是 1,649.8937 美元，页面上按 1,649.89 使用，240 期下来末期余额会停在 −0.27 美元。如果保留全部小数位，末期余额是 −1.5×10⁻⁹ 美元。看到末期不是正好 0 属于正常现象，把残差加回本金即可对平。
- 求期数时可能得不到整数。PV=250,000、每期 2,000、i=0.4167% 的解是 176.94 期。明细表只能列整数行，所以表里是 176 行，第 176 期末余额还剩 1,866.92 美元——正好是不足一期的零头（小数部分 0.94）。若每期金额小于
PV × i = 1,041.67美元，利息永远追不上，工具会直接报错。 - 求利率时区间是 [−0.99, 1]。i 的下限锁在 −99%/期而不是 −100%，因为 i = −1 时
(1+i)^(−n)会发散成 Infinity；上限 100%/期足以覆盖高息场景。若在区间两端函数值同号，说明这组「现值 + 每期收付 + 期数」互相矛盾，工具会判定无解而不是给一个假数。 - i = 0 走单独分支。此时
a(n,0) = s(n,0) = n，每期金额就是「现值 ÷ 期数」，没有任何利息成分；填 0% 不会出现 NaN 或空白结果。 - 年数上限 100 年、支付次数上限 52 次/年，因此期数最多 5,200 期（本页内部还会拦掉超过 12,000 期的极端组合）。超过之后不是算不动，而是这类假设已经没有决策意义。
- 金额是 IEEE 754 双精度浮点数。安全整数上限是
2⁵³−1 = 9,007,199,254,740,991，本页把现值与终值都限制在 10 亿美元以内、期数限制在 12,000 期以内，最大中间量（终值 10 亿、i 上限 100%/期）仍可精确表示到整数位， - 年金计算器只算确定性现金流。没有违约、没有提前还款、没有税费与手续费，也不含寿命不确定性。真实寿险年金的定价还要叠加生命表（如《中国人身保险业经验生命表》），不在本页范围内。
常见问题
期初年金和期末年金到底差多少？
差一个 (1+i)。以默认示例为例，期末每期 1,649.89 美元、期初每期 1,643.04 美元，比值 1.00416667 就是 1 + 5%/12。放到 240 期上看，每期差 6.85 美元、20 年累计差约 1,643 美元。不是差一整期。
我按「年利率 ÷ 12」算，别人按「(1+年利率)^(1/12)−1」算，谁对？
取决于你和对方说的「年利率」是名义还是实际。本页填的是名义年利率（APR 口径），所以 i = 5%/12 = 0.4167%，对应的实际年利率是 5.1162%。如果对方拿的是实际年利率 5%，他的期间利率是 0.4074%，每期金额会比本页低约 0.9%。要互相对上，先把实际年利率换算成名义值再填。
为什么结果里既有现值又有终值？我到底能拿多少？
两个都是「等价额」，不是两笔钱。现值 250,000 美元是把 240 笔 1,649.89 美元按 0.4167% 逐期折现回今天得到的总值；终值 678,160.34 美元是把这 240 笔款额按同一利率累积到第 240 期末得到的总值。现实里你只会处在其中一个时点：今天拿 25 万，或者按期领 240 次。
房贷月供能不能直接用这个工具算？
可以，选「已知现值 → 求每期收付」+「普通年金（期末支付）」：现值填贷款本金，年利率填合同利率，m 填 12，年数填贷款年限，得出的就是等额本息月供。注意不能选修期初支付，因为房贷是还款期末结算的普通年金；选错会得到一个月供偏低的数。
「已知终值求每期缴存」适合什么场景？
适合目标倒推，比如「20 年后想攒到 50 万美元，年化 7%，每月要存多少」。这组参数解出每期约 1,216.44 美元；把年数拉到 30 年，每期会掉到约 426 美元左右。
期数是小数时，明细表为什么要截断？
因为「176.94 期」这样的期数在现实中不存在——你不可能支付 0.94 次。所以明细表只列整数部分，末行余额不为零，剩下的零头需要单独处理：要么最后一期多付一点，要么把期数向上取整并相应调低每期金额。求期数给出的小数更适合当参考值，而不是执行值。
永久年金（永续年金）怎么算？
把期数推向无穷大即可：PV = PMT ÷ i。每期 1,000 美元、期间利率 0.4167% 时现值正好是 1,000 ÷ 0.0041667 = 240,000 美元；改成期初支付则为 241,000 美元。
利率填负数会怎样？
允许，下限是 −20%。负利率会让系数变大——同样 25 万美元按期支取，每期金额反而变小（钱在缩水，必须少领才能撑到期）。若利率接近 −99%/期，现值系数会发散，收益卡上的数字会变得很大但没有现实对应，所以本页把下限压在 −20% 而不是更激进的 −99%。
相关工具
- 贷款计算器：按等额本息算月供与总利息，本质上就是本页「已知现值求每期收付 + 期末支付」的一个应用。
- 房贷计算器：把等额本息与等额本金放在一起对比，前者是普通年金，后者不是——正好用来看本页模型的适用边界。
- IRA计算器：按缴存上限逐年复利，解决「投多少」；本页解决「这些钱怎么在时间轴上等价」，两页配合能覆盖积累阶段的两端。
- 退休储蓄计算器：可以同时填初始余额与每期缴存，比本页多一个存量项。
- 现值价值主张计算器：只折现一笔一次性金额，是本页多期折现的极简版，用来验证单点结果。
- 储蓄利息计算器：不复利、只按本金计息，可用来对照「单利 vs 年金复利」的差额。
- 法则72计算器：用 72 ÷ 收益率粗算翻倍年数，快速判断不同利率档位的差距。
- 计算器：查看全部计算器工具。