抛硬币模拟_正反面概率统计与卡方拟合优度检验

使用方法

在「投掷次数 n」填 1 ~ 10000 之间的整数。示例值 1000——这是本页能给出有意义卡方结论的最小实用规模。
在「每组投掷次数」填 10 ~ 200 的整数，示例值 50。分组是为了观察"局部是否偏斜"，不分组只看总频率会掩盖前半段和后半段的差异。
在「随机源」二选一。默认 crypto.getRandomValues；换成 Math.random 是为了让你亲眼看到两者在本测试下分布没有区别，但它们的可预测性完全不同。
点「开始投掷」。页面会一次性取回 n 个 uint32，逐个取最高位当作正反面，然后给出频率、标准差、z 值和卡方结论。
下方分组对照表默认只显示 12 行，点「加载更多分组」逐步展开；需要离线核对时用「导出 CSV」，文件带 BOM，Excel 直接双击不乱码。

这个抛硬币模拟能解决什么问题

抛硬币模拟的真正用途不是"替你决定"，而是回答一个具体问题：看到一堆正反结果，能不能说它偏向某一面。生活里这类判断天天出现——群里讨论午饭选哪家、投票前估一下票数、实验记录里判断一批样品有没有系统偏差、一个"随机"排序是不是其实有倾向。凭感觉看会出错：1000 次里出现 530 次正面，直觉上像"硬币偏了"，但统计上完全正常。

它也能当反面教材。同一批数据在 n=10 和 n=10000 下结论完全相反，这正是统计推断的核心：样本量决定了你有多大概率说真话。抛硬币模拟把这个过程做成可重复的实验，你能亲眼看着频率从 0.70 收敛到 0.50，也能看着某个分组跳出 95% 区间后又回归。

本页不做的事：不模拟物理硬币的转动与碰撞（不涉及任何力学方程），也不提供多面币、骰子或带权重的不公平硬币——那些是别的工具负责的。这里只做一件事：标准二项分布 B(n, 0.5) 的抽样与检验。

随机比特的取法与统计口径

页面调用的是 Web Crypto API 的 crypto.getRandomValues(new Uint32Array(n))，然后对每个元素取 (v >>> 31) & 1——uint32 的最高位，取 0 记反面、取 1 记正面。

为什么取最高位而不是 u % 2：两者都严格无偏，因为 uint32 有 2³² 个等概率取值，而 2 能整除 2³²。差别在实现——最高位是纯位运算，不做除法，也不怕除数为 0 的边界讨论。
为什么用 crypto 而不是 Math.random：Web Crypto 规范（W3C）要求 getRandomValues 必须来自操作系统熵池，是密码学安全的；Math.random() 由 V8 的 xorshift128+ 驱动，给够 624 个连续输出就能还原内部状态并预测后续全部结果。抛硬币模拟用 crypto 是因为它同时也是本站其它随机类工具的同一条熵源。
为什么一次取 n 个而不是循环 n 次：n=10000 时循环调用要 10000 次跨层往返，而单次 getRandomValues 分配 10000 × 4 = 40000 字节缓冲区一次填满。规范对单次请求有 65536 字节上限，本页的 10000 次上限正好卡在这个额度之内。

统计量按二项分布 B(n, 0.5) 计算。因为 p(1−p) = 0.25，所以标准差是 σ = 0.5 × √n 而不是 √n。z 分数 = (H − n/2) / σ，H 为正面次数。

卡方拟合优度检验用 df=1 的形式 χ² = 2(H − n/2)² / (n/2)，判断它是否超过临界值。实测临界值：α=0.05 → 3.8415，α=0.01 → 6.6349，α=0.001 → 10.8276。1.96σ 的近似区间是给不需要做检验时快速看的，两者在 n 大时几乎重合。

分组卡方是同一个公式作用在每组的 G 次上：G=50 时期望频数 E=25，落在卡方检验要求的 E ≥ 5 之上；单组正面数 ≤18 或 ≥32 时 χ² 才越过 3.8415。这条阈值是算出来的，不是拍的。

完整示例（数值仅作演示）

示例条件：n = 1000，每组 50 次（拆成 20 组），随机源 crypto.getRandomValues。

期望正面数 E = 500.0，标准差 σ = 0.5 × √1000 = 15.81。
95% 区间 = 500 ± 1.96 × 15.81 = [469.0, 531.0]，也就是正面频率 46.90% ~ 53.10%。
若本次结果是 530 正 / 470 反：χ² = 3.6000，z = 1.8974。3.60 < 3.8415，不能拒绝公平性——这就是"看起来偏了但其实没偏"的典型数值。
若本次结果是 600 正 / 400 反：χ² = 40.0000，z = 6.3246，远超 3.8415，这时才该怀疑随机源或流程。
分组层面：单组 50 次里出现 18 正 χ²=3.9200（越界），19 正 χ²=2.8800（未越界）。20 组里按 α=0.05 期望正好有 1 组越界，看到一两行标红属于正常，不是程序出错。

以上数字用于演示检验逻辑。每次点「开始投掷」得到的具体序列都会不同，页面显示的是当次实测值，不预置任何固定结果。

投掷次数与 95% 区间对照表

同一枚公平硬币，样本量直接决定你能测出多小的偏差。半宽 = 0.98 / √n：

投掷次数 n	期望正面数 n/2	标准差 σ	95% 正面数区间	95% 频率区间	半宽
10	5	1.58	1.9 ~ 8.1	19.01% ~ 80.99%	±30.99%
20	10	2.24	5.6 ~ 14.4	28.09% ~ 71.91%	±21.91%
50	25	3.54	18.1 ~ 31.9	36.14% ~ 63.86%	±13.86%
100	50	5.00	40.2 ~ 59.8	40.20% ~ 59.80%	±9.80%
200	100	7.07	86.1 ~ 113.9	43.07% ~ 56.93%	±6.93%
500	250	11.18	228.1 ~ 271.9	45.62% ~ 54.38%	±4.38%
1000	500	15.81	469.0 ~ 531.0	46.90% ~ 53.10%	±3.10%
2000	1000	22.36	956.2 ~ 1043.8	47.81% ~ 52.19%	±2.19%
5000	2500	35.36	2430.7 ~ 2569.3	48.61% ~ 51.39%	±1.39%
10000	5000	50.00	4902.0 ~ 5098.0	49.02% ~ 50.98%	±0.98%

读法：n=10 时 7 正 3 反和 3 正 7 反都在正常范围内，连"80% 正面"都碰得到；n=10000 时 51% 正面就已经越界。半宽与 √n 成反比——想把误差压到 1% 以内，样本量得从 1000 涨到 10000，成本是 10 倍。

边界与精度

次数下限 1：n=1 时 σ=0.5，95% 区间算出来是 [−0.48, 1.48]，覆盖了整个 [0, 1] 取值域，统计上零信息量。卡方检验要求期望频数 E ≥ 5，即 n ≥ 10 才有意义，n < 10 时页面只报描述性结论不做检验判定。
次数上限 10000：对应 40000 字节随机缓冲区，低于 Web Crypto 单次 65536 字节的规范额度。再往上不是不行，而是生成的序列字符串（n × 3 − 1 字符，上限时 29999 字符）会让分页表格失去意义。
随机源分辨率：uint32 有 2³² = 4294967296 个取值，单步分辨率 2⁻³² = 2.328e−10。这个粒度远小于 1/n，所以单次抽取不存在可察觉的偏置。
频率显示精度：正面频率按 2 位小数、百分比按 2 位小数显示，统计量（σ / z / χ²）按 4 位小数显示。内部计算全程 float64，不做提前取整——0.5 × Math.sqrt(1000) 的结果 15.811388300841896 一直保留到显示环节才截断。
序列只显示前 200 个：n=10000 时全部渲染会生成 29999 个字符的 DOM 文本，页面只展示前 200 个记号并注明"已截断"，完整序列用「复制序列」或「导出 CSV」拿。这是渲染策略，不是数据丢失。
分组参数：每组 10 ~ 200 次。取 200 时 n=10000 只拆 50 组；取 10 时拆 1000 组，表格行数上限由「加载更多」控制，不会一次性撑爆 DOM。

常见问题

连出 5 次正面之后，下一次该出反面了吧？

不会，而且这是最有名的一个错误。上一次结果不影响下一次，概率永远是 0.5。容易产生错觉是因为"5 连正"本身不算罕见——它的事前概率是 0.5⁵ = 3.125%，也就是每 32 次里就会遇到一次。在 n=100 的序列里，至少出现一次 5 连正的概率高达 95.3%。所以"该出反面了"是对随机性的误读，不是对概率的计算。

我这 1000 次里出现 530 次正面，硬币是不是有问题？

不是。n=1000 的 95% 区间是 469.0 ~ 531.0，530 落在区间内；χ²=3.6000 也小于临界值 3.8415。正确的说法是"在 α=0.05 下没有证据拒绝公平性"，而不是"证明了绝对公平"——统计检验永远无法证明零偏差，只能给出证据不足或证据充分这两个结论。

分组表里有几行标红了，是不是程序算错了？

不是。每组 G=50 时，单组正面数 ≤18 或 ≥32 就越过 5% 临界值（18 正的 χ²=3.9200）。但你是同时看 20 个组，α=0.05 × 20 = 1.0，意味着平均本来就有 1 组标红。逐个组做检验再汇总，家族错误率会远高于 5%。要正式检验整体偏差，请只看顶部的总卡方，不要数有几行标红。

把随机源换成 Math.random，结果会不一样吗？

在 n=1000 这种样本量下，看不出区别。两者都是等概率的，分布检验都会通过。区别在可预测性：V8 的 Math.random 走 xorshift128+ 生成器，连续取到 624 个 32 位输出后可以还原其内部状态，从而预测之后所有结果。抛硬币模拟默认给 crypto 源就是为了让这个页面的输出不可被反推。

n=10 时能不能用这个页面做判断？

能看，不能判。n=10 的 95% 区间是 1.9 ~ 8.1，也就是 80% 正面、20% 正面都在正常范围。卡方检验的可靠性要求期望频数 E ≥ 5，n=10 刚好压线；n=20 时 E=10 才开始稳。要检测"硬币是否偏向某面"这种量级的差异，最低建议 n=1000——对应 ±3.10% 的分辨率。

页面里那条"最长连正约等于 log2(n)"是怎么来的？

几何分布的经典结论：长度 k 的正面段在 n 次里出现一次的概率约 n/2^k+1，令它等于 1 解出 k ≈ log2(n)。代入可得 n=100 → 6.64、n=1000 → 9.97、n=10000 → 13.29。所以 n=10000 时看到 13 连正属于常态，不说明任何异常；判断异常仍然要看总卡方。

CSV 导出为什么开头有一段看不见的字符？

那是 UTF-8 BOM（U+FEFF），长度为 3 字节。Excel 打开不带 BOM 的 UTF-8 CSV 会把中文识别成乱码，加上 BOM 就能正确识别编码。它只影响 Excel 这类按 BOM 猜编码的软件，pandas.read_csv 默认也会跳过它，awk 则不会——这是刻意的取舍，不是 bug。

这个工具免费吗？数据安全吗？

免费，无需注册即可使用。随机源是浏览器内置的 crypto 熵池，不上传任何内容；页面上唯一的输入是次数和分组参数，你可以断网后刷新验证，开发者的 Network 面板会是空的。

抛硬币模拟