使用方法
- 把一组数值粘进文本框，例如 12 个成绩
78 82 85 90 88 76 95 84 91 87 80 83，用空格或换行分开都行。 - 在「口径」选择样本或总体：数据是更大群体的一部分（抽检、调查）选样本，手里就是全部对象选总体。
- 按 Ctrl/Cmd+Enter（或多行时直接点「计算方差」），立即得到方差、均值与标准差。
- 想还原示例点「载入示例」；「导出 CSV」把每个数与偏差平方存成带 BOM 的表格，Excel 打开不乱码。
- 某个数值填错时看提示：会指出第几个数、允许什么格式，不会静默归零。
这个方差计算器能解决什么问题
方差计算器把"这组数据散不散"变成一个可比较的数。均值相同的两组数据，方差可能差很多：一批零件尺寸均值达标但方差大，说明良率不稳；两支基金平均收益相同，方差大的那支波动更剧烈。它适用于质量检验（工序能力、六西格玛）、成绩与实验数据离散度评估、风险评估（收益波动）、以及任何需要量化"偏离典型值程度"的场景。
本方差计算器只报"离散程度的平方量"，不直接给标准差。若要回到与原数据同单位的离散度（厘米、分），请用标准差计算器；若要算每个数离均值多少标准差，请用 Z 分数计算器。三者口径不同，分工明确。
原理与变量说明
设数值为 x₁ … xₙ，均值 μ = 总和 ÷ N（样本时用 x̄）。核心是离差平方和 SS = Σ(xᵢ − μ)²，即每个数减均值再平方后求和。
- 总体方差：
σ² = SS / N，分母是全部个数 N，适用于"这就是全部对象"的情形。 - 样本方差：
s² = SS / (n−1)，分母用 n−1 而非 n，这就是贝塞尔校正。 - 为何用 n−1：用样本均值 x̄ 代替真实均值 μ 会系统性低估每个偏差（样本均值恰好使偏差和为 0，把极端偏差"拉平"了）。除以 n−1 而非 n，是对这种低估的无偏修正。n 越小修正越明显：n=2 时样本方差是总体方差的 2 倍，n=12 时约为 1.09 倍，n=100 时约 1.01 倍。
- 方差与标准差：标准差是方差的平方根
σ = √σ²。方差好处是可加、便于推导，坏处是单位被平方（"平方厘米"）不好解释；标准差开方后单位回归原单位，更适合直接汇报。 - 平方量纲：若 x 单位是米，方差单位是米²（m²），标准差单位是米（m）。脱离单位谈方差绝对值无意义，跨量级比较要用变异系数（标准差÷均值）。
完整示例（数值仅作演示）
示例条件：12 个成绩 78 82 85 90 88 76 95 84 91 87 80 83，样本口径。
- 均值 84.917，离差平方和 342.917。
- 样本方差 31.174（SS ÷ 11），样本标准差 5.583。
- 总体方差 28.576（SS ÷ 12），总体标准差 5.346。
逐项核对：78 偏差 −6.917（平方 47.840），95 偏差 +10.083（平方 101.674，是全组最大偏离），12 个平方相加得到 342.917。除以 11 得 31.174，开方得 5.583。示例中的数值仅用于演示计算过程，不代表任何真实成绩。
| # | 数值 | 偏差 x−均值 | 偏差平方 |
|---|---|---|---|
| 1 | 78.000 | −6.917 | 47.840 |
| 2 | 82.000 | −2.917 | 8.507 |
| 3 | 85.000 | 0.083 | 0.007 |
| 4 | 90.000 | 5.083 | 25.840 |
| 5 | 88.000 | 3.083 | 9.507 |
| 6 | 76.000 | −8.917 | 79.507 |
| 7 | 95.000 | 10.083 | 101.674 |
| 8 | 84.000 | −0.917 | 0.840 |
| 9 | 91.000 | 6.083 | 37.007 |
| 10 | 87.000 | 2.083 | 4.340 |
| 11 | 80.000 | −4.917 | 24.174 |
| 12 | 83.000 | −1.917 | 3.674 |
| 合计 | — | — | 342.917 |
输入范围与对照表
下表给出不同样本量下，样本方差相对总体方差的放大倍数（校正因子 n/(n−1)），n 越小放大越明显。
| 样本量 n | 校正因子 n/(n−1) | 含义 |
|---|---|---|
| 2 | 2.0000 | 样本方差是总体方差的 2 倍 |
| 3 | 1.5000 | 放大 1.5 倍 |
| 4 | 1.3333 | 放大 1.33 倍 |
| 5 | 1.2500 | 放大 1.25 倍 |
| 10 | 1.1111 | 放大约 1.11 倍 |
| 12 | 1.0909 | 本页示例（12 个成绩）所处位置 |
| 30 | 1.0345 | 已接近总体口径 |
| 100 | 1.0101 | 大样本时两种口径几乎一致 |
平方量纲直觉：身高 1.60、1.72、1.68、1.75、1.65 米，总体方差约 0.002760 米²，标准差约 0.0525 米。方差带"平方"，所以汇报离散度通常报标准差。
边界、精度与口径说明
- 数值格式：只接受数字，可带正负号和小数点；用空格、换行、逗号或分号分隔。出现非数字会指出第几个、内容是什么。
- 最少个数：总体口径至少 1 个；样本口径至少 2 个（分母 n−1 不能为 0），只填 1 个会明确提示，不会返回 0。
- 规模上限：单次最多 20000 个数值，超过会提示分批，避免一次性生成上万行 DOM 卡住页面。
- 精度：均值、方差、偏差按 3 位小数显示，内部用完整双精度计算，未做提前取整；极端大数仍受 IEEE 754 双精度范围约束。
- 口径选择：抽样数据选样本（n−1），普查全部对象选总体（n）。多数业务场景属于样本，选错会系统性低估离散度。
- 平方量纲：方差单位永远是原单位的平方，不能直接和原数据比大小；要回到原单位取标准差。
常见问题
样本方差为什么要除以 n−1 而不是 n？
因为用样本均值 x̄ 代替真实均值 μ 会系统性低估偏差（样本均值让偏差和恰为 0，把极端值拉平）。除以 n−1（贝塞尔校正）对低估做无偏修正。n=2 时样本方差是总体的 2 倍，n=100 时仅约 1.01 倍，n 越大差别越小。
样本和总体该选哪个？
数据只是更大群体的一部分（抽检、问卷、实验样本）选样本；数据就是全部对象（全班、全批）选总体。多数实际业务属于样本。选总体会把离散度算小，常见于"漏做校正"的误用。
方差和标准差有什么区别？
方差是标准差的平方，单位被平方（米²），可加性好、便于推导；标准差开方后单位回归原单位（米），更适合直接汇报。两者描述同一件事，只是量纲不同。需要原单位离散度请用标准差计算器。
方差为啥会出现平方单位？
方差定义里每个偏差都平方了，所以原单位的平方（米→米²、分→分²）。这正是它不好直接解释的原因，也决定了跨量级比较要除以均值得到变异系数，而不是拿方差绝对值比大小。
只有一个数能算吗？
总体口径可以（方差为 0，没有离散）；样本口径不行，因为分母 n−1 为 0 无定义。页面会对"样本口径只填 1 个"给出明确提示，不会静默返回 0。
数据里有极端值怎么办？
方差对方差（平方）对极端值极敏感，一个异常点会大幅推高结果。建议先核对是否录错；若确属真实异常，可同时看中位数与四分位距，或用截尾方差，并注明处理方式。
这个工具免费吗？
免费，无需注册即可使用。
输入的数据安全吗？
安全。计算在当前浏览器本地完成，不会上传输入内容，可在开发者工具 Network 面板自查。