圆锥体积计算器

使用方法

1. 先选「口径」。手上量到的是圆心到边缘的距离就选半径；实物规格表上写的往往是底面最宽处的宽度，那就选直径（底径）。示例用半径口径，数值填 3。
2. 「口径数值」填对应的长度。示例填 3，随下面的单位走：单位选厘米时表示 3 厘米，选米时表示 3 米；面积与体积的单位会跟着变成立方关系。
3. 「垂直高」填从底面圆心垂直到顶点的高，示例填 8，这里不能填母线。母线是沿锥面从底边斜拉到顶点的那条线，一定比垂直高长；本页只收垂直高，母线由勾股定理算出来。
4. 「单位」四选一，长度、面积、体积的单位会同步换成对应的一族。
5. 点「计算圆锥体积」，得到体积、折合容量、底面积、母线、侧面积、总表面积、半顶角与顶角；下方对照表固定当前高度，按半径列出十二行，默认展开六行。改动任何一项都会立刻重算，「复制对照表」取走 TSV，「导出 CSV」下载带 UTF-8 BOM 的文件。

这个圆锥体积计算器能解决什么问题

凡是底部为圆、顶端收成一个尖点的物体，都要回答两个问题：能装多少，以及要裁多大一块料，前者算体积、后者算表面积。本页一次算全：给蛋筒、圆锥杯、漏斗估算毫升数，给沙堆、粮囤、矿山料堆估方量，给尖帽与灯罩反推扇形用料；反过来也成立——已知要装 1 升，看口径与高度怎么配。它也被写成体积圆锥体计算器这个名字，指的完全是同一件事。

三个量的用途不同：体积决定能装多少；侧面积对应展开后的扇形，是无底件的用料；总表面积再加底面那个圆，做有底容器才用得上。

计算原理与变量说明

本页只有一条主公式与一组派生公式，全部尺寸先换算到同一种单位再做运算：

• 半径 r：选直径口径时先把直径除以 2。示例 r = 3 cm。
• 底面积 A = πr²：示例 π × 3² = 28.2743 cm²。
• 体积 V = πr²h ÷ 3：示例 28.2743 × 8 ÷ 3 = 75.3982 cm³。
• 母线 l = √(r² + h²)：示例 √(9 + 64) = √73 = 8.5440 cm。
• 侧面积 S侧 = πrl：示例 π × 3 × 8.5440 = 80.5253 cm²。
• 总表面积 S总 = πr² + πrl：示例 28.2743 + 80.5253 = 108.7997 cm²。
• 半顶角 α = arctan(r ÷ h)：示例 arctan(3 ÷ 8) = 20.556°，顶角为它的两倍即 41.112°。
• 等底等高圆柱 V柱 = πr²h：示例 226.1947 cm³，圆锥与它的比值为 0.333333。

为什么是三分之一而不是二分之一：二维里三角形面积是同底同高矩形的一半，很多人把这个「一半」顺着记到三维。三维中每一水平切片圆的面积随高度按平方收缩，沿高度累积后得到的系数是 1/3。本页每次都同时列出圆锥与圆柱：226.1947 ÷ 3 = 75.3982，可当现场校验。

母线与垂直高为什么必须分开：把侧面剪开摊平是一个扇形，扇形半径正是母线 l，扇形弧长正好等于底面周长 2πr，于是侧面积 = 弧长 × 半径 ÷ 2 = πrl；垂直高 h 藏在关系 l² = r² + h² 里。若把 h 当成 l 代入，示例得到 π × 3 × 8 = 75.3982，比正确的 80.5253 少 5.1271；这个错值恰与体积数值相同纯属巧合，因为 πrh 与 πr²h/3 在 r = 3 时相等。

半顶角为什么有工程意义：α = arctan(r ÷ h) 描述锥面有多陡。干燥沙料自然堆积会稳定在约 34° 的安息角附近，陡于此便继续塌落，堆场里常反过来用 h = r ÷ tan α 由实测口径反推堆高；本页在 α 超过 34° 时给出提示。

为什么必须提供口径切换：公式里的 r 必须是半径，而实物规格给的多是底径——交通锥底径 30 cm、圆锥杯口径 8 cm、沙堆底径 4 m。把直径当半径体积放大 4 倍、反过来缩到四分之一，页面做成显式开关正是为了避开这类误差。

完整示例（数值仅作演示）

示例条件：半径口径、口径数值 3、垂直高 8、单位厘米，π 取双精度值 3.141592653589793。

• 底面积 = π × 3² = 28.2743 cm²。
• 体积 = 28.2743 × 8 ÷ 3 = 75.3982 cm³，也就是 0.075398 L，折合 0.00007540 m³。
• 母线 = √(3² + 8²) = √73 = 8.5440 cm。
• 侧面积 = π × 3 × 8.5440 = 80.5253 cm²；总表面积 = 28.2743 + 80.5253 = 108.7997 cm²。
• 半顶角 = arctan(3 ÷ 8) = 20.556°；顶角 = 41.112°。
• 等底等高圆柱 = π × 3² × 8 = 226.1947 cm³，圆锥体积是它的 1/3（比值 0.333333）。
• 口径校验：同样是示例形状，若把手上的底径 6 cm 误当成半径填进去，体积会变成 301.5929 cm³，正好是 75.3982 的四倍。
• 单位校验：单位换成米、数值仍填 3 与 8，体积数字依旧是 75.3982，单位是立方米即 75398.22 L。

示例数值均为演示，不代表任何实物的实际尺寸。

圆锥体积对照表

工具区里的动态对照表固定当前「垂直高」，按半径从 1 到 25 列出十二行；示例高 8 cm 时，半径 3 那一行就是上面复算出的四个数。

下表固定 r = 3 cm，只改变垂直高：高度拉长时体积线性增长，顶角迅速收敛，h 从 1 cm 到 100 cm 时顶角由 143.13° 收到 3.44°。

下表为体积单位换算，用于把算出的立方数换成常用的容量单位。

下表为常见圆锥实物口径，容量按本页公式折算后取整，用于核对数量级。

结果边界、舍入与适用说明

• 输入范围：口径数值 0.01 ~ 10000，垂直高 0.01 ~ 10000，步长均为 0.01；单位为厘米、米、英寸、英尺四选一。
• 口径或高为 0、负数、非数字时给出具体提示，不会静默按 0 出结果。
• 结果统一保留 4 位小数，中间过程不二次舍入；手算若出现末位差异，多为中间结果被提前截断。
• 本页只算直圆锥（顶点投影落在底面圆心）；斜圆锥的母线与侧面积公式不成立，不要套用。
• 页面不接受直接输入母线：若手上是沿锥面量出的斜高 l，请先用 h = √(l² − r²) 反解垂直高再填入。
• 单位切换只改变长度基准，面积与体积按平方、立方关系自动换算；同一组数字用米口径得到的立方米数，等于厘米口径结果除以一百万。
• π 取双精度浮点值 3.141592653589793，与取 3.14 的手算结果在末位有微小差别。
• 结果只反映几何算术关系：实际容器还要考虑壁厚、装填率与过渡段，堆料还要考虑堆积密度。

常见问题

相关工具

• 圆柱体积计算器：等底等高的一圈柱体，体积是本页的三倍。
• 球体体积计算器：按半径或直径算球的容积与表面积。
• 圆柱表面积计算器：同一族的表面积口径。
• 容积计算器：把立方结果换成日常容量单位。
• 球体表面积计算器：球形封闭体的表面积。
• 计算器：查看全部计算器工具。